大家知道，当在几何图形中出现特殊角时，就会给图形带来特殊的性质，相关几何问题的求解就会有相应的窍门。今选编三例含45º角的几何问题，一起来说说其的求解小技巧：

【例一】（如图）在Rt△ABC中，∠ABC=90º，点D在BC边上，点E在AB边上，连接AD、ED，∠ADE=45º，且：AE=CD，过点B作BF⊥AD，垂足为F，延长BF交AC于一点G，连DG，若∠DBF=∠CAD，CG＋BE=5√2，求线段AC的长

【分析】

（1）由题意可得：∠1＋∠4=90º=∠2＋∠3，∵∠1=∠2，∴∠3=∠4，∴AB=AG，则：AF为边BG的中垂线，∴DB=DG，易得：△ABD≌△AGD，∴∠AGD=∠ABD=90º，∠1=∠5

（2）过点E作BG的平行线交AC于点M，即EM∥BG，∴AE=AM，EB=MG，∴AM=CD，由已知可得：CM=5√2

（3）连DM，易证△AED≌△AMD，∴DE=DM，∠ADE=∠ADM=45º，∴∠EDM=90º，易得：∠BED=∠CMD

（4）易证：∠MDC=90º－∠BDE=∠BED，∴∠MDC=∠CMD，∴CM=CD=5√2，AC=10√2

【例二】（如图）在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E为AD上一点，且：AD=BC，BD=DE，点F为AB上一点，且：∠BFE=45º，连CF交AD于一点G，则：GE=GF

【分析】

（1）过点C作MC⊥BC，取MC=BC，由已知可得：MC=AD，四边形ADCM为矩形，Rt△MBC为等腰直角三角形

（2）连MB、MF、MA，MF交AD于点N，由BD=DE，得∠EBD=45º=∠MBC，∴BEM共线

（3）由∠BFE=45º=∠AME，∴点A.F.E.M共圆，∴∠EFM=∠EAM=90º，∠BFM=135º

（4）若以C为圆心，CB=CM的长为半径作⊙C，由于∠BCM为90º圆心角，∠BFM=135º，∴点F必在⊙C上，CF为半径，即：CF=CM，由AD∥MC，∴GF=GN，∴∠GFN=∠GNF

（5）在Rt△EFN中，已得：∠GFN=∠GNF，∴∠EFG=90º－GFN=90º－∠GNF=∠GEF，所以GE=GF

【例三】（如图）Rt△ABC中，BC=4，D、E分别是边AC、AB上的点，BE=2，∠EDB=45º，AC=AB＋2AD，求：线段AB的长

【分析】

（1）先取边BC中点F，∴BF=FC=2=BE，∠EFB=45º，∴E.B.F.D共圆，∴∠EDF=90º，即：ED⊥DF

（2）在AC边上截取AG=AB，连接BG，∴GC=2AD，取BG中点H，连AH，∴AH⊥BG，连HF，∴HF∥=GC/2，∴HF∥=AD，即：AHFD为平行四边形

（3）所以：DF⊥BG，则：ED∥BG，∴AE=AD，BE=DG=2，设：AE=x，则AD=x，GC=2x，∴AB=2＋x，AC=3x＋2

（4）Rt△ABC中（3x＋2）²=（x＋2）²＋4²，整理得：x²＋x－2=0，解得：x=1，舍x=－2，所以：AB=x＋2=3，即：线段AB的长为3

以上三例之分析，“道听度说”供参考。

消防界官网

临床医药文献杂志官网

黑龙江画报

经济与社会发展研究杂志社